Классики линейной теории автоматического регулирования

PDF версия
Работа является продолжением цикла статей, посвященных истории автоматического управления техническими системами. В ней проанализированы основополагающие работы Д. К. Максвелла, И. А. Вышнеградского и А. Б. Стодолы, применивших метод малых колебаний и связавших конструктивные параметры регулятора прямого или непрямого действия с коэффициентами его линейного дифференциального уравнения. В результате были созданы знаменитые критерии устойчивости Рауса и Гурвица.
Александр Микеров, д. т. н., проф. каф. систем автоматического управления СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

Александр Микеров,
д. т. н., проф. каф.
систем автоматического управления
СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

В предыдущей статье данного цикла [1] рассматривалась ситуация, которая сложилась к середине XIX в. в связи с широким внедрением паровых и других машин с регуляторами скорости в промышленности и на транспорте. В статье также отмечалось, что многочисленные случаи неудовлетворительной работы регуляторов, приводившие к тяжелым авариям и даже человеческим жертвам, вынудили ученых сформулировать проблему устойчивости, вызванную, в основном, противоречием между требованиями точности и сложной (возможно — нелинейной) динамикой процессов, протекающих в замкнутом контуре. Фундаментальный вклад в решение проблемы устойчивости линейных систем автоматического регулирования внесли труды Д. К. Максвелла, И. А. Вышнеградского и А. Б. Стодолы, которые и будут рассмотрены в настоящей статье, в основном на базе работ [2, 3].

Джеймс Кларк Максвелл (James Clerk Maxwell)

Джеймс Кларк Максвелл (1831–1879)

Рис. 1. Джеймс Кларк Максвелл (1831–1879)

Прекрасный математик и физик Джеймс Кларк Максвелл (рис. 1), уроженец Шотландии и выпускник Кембриджского университета, известен, прежде всего, созданием в 1864 г. своей электромагнитной теории (электродинамики), которая позволила свести все многообразие электрических и магнитных явлений к четырем изящным уравнениям, носящим его имя.
Однако созданием этой гениальной теории роль Максвелла в науке далеко не ограничилась. Он внес существенный вклад в понимание природы колец Сатурна, в теорию цвета, в развитие газовой динамики, а в механике обобщил уравнения Лагранжа второго рода и распространил их на электрические и электромеханические процессы (уравнения Лагранжа — Максвелла) [4, 5].

Основополагающим вкладом в теорию автоматического регулирования является его знаменитая книга «О регуляторах» (1868 г.) [6], опубликованная на русском языке с обширными примечаниями и комментариями в прекрасном академическом издании 1949 г. [2]. Непосредственным поводом к написанию книги было изобретение Флимингом Дженкином (Fleeming Jenkin), коллегой Максвелла по университету, нового центробежного регулятора с катарактом, описанного в статье настоящего цикла [7].

В книге Максвелл, наверное впервые, дал определение регулятора: «Регулятор есть часть машины, посредством которой скорость машины поддерживается почти постоянной, несмотря на изменение движущей силы или силы сопротивления».
Как отмечалось в [1], первым применил в 1840 г. дифференциальные уравнения к анализу проблемы устойчивости центробежного регулятора английский математик и астроном Джордж Эри (Georg B. Airy), который, однако, не выявил условий зависимости устойчивости регулятора от его конструктивных параметров. В отличие от Эри, который сначала нашел нелинейные дифференциальные уравнения, а затем их приближенно решал, Максвелл сразу составил линеаризованные дифференциальные уравнения, предполагая линейные зависимости между всеми параметрами.

Например, для положения заслонки y паровой машины с регулятором Дженкина Максвелл вывел следующее линейное дифференциальное уравнение третьего порядка:

CE_1(55)_2015.inddгде f — нагрузка на валу машины, a1, a2, a3, b — некоторые постоянные коэффициенты (параметры регулятора), определяемые его конструктивными характеристиками. При этом предполагалось, что сама паровая машина без регулятора обладает самовыравниванием.

Изменение нагрузки f на валу машины вызывает некоторый переходный процесс поворота заслонки в новое положение. Если этот переходный процесс не сопровождается незатухающими автоколебаниями или выходом машины за пределы рабочей зоны, а сходится к некоторому новому постоянному установившемуся значению, то регулятор является устойчивым и работоспособным.

Применив известную теорию линейных дифференциальных уравнений, Максвелл показал, что такой сходящийся переходный процесс имеет место, если все корни характеристического полинома его дифференциального уравнения имеют отрицательные вещественные части. Для рассматриваемого уравнения характеристический полином имеет вид:

CE_1(55)_2015.inddгде p — комплексная переменная. Тогда для устойчивого регулятора его корни должны иметь отрицательные вещественные части. Это и есть необходимое и достаточное условие устойчивости регулятора, которым мы пользуемся до сих пор.
Таким образом, по мнению Максвелла, конструктор должен так выбирать параметры регулятора и машины, чтобы не только обеспечить заданные мощность и производительность, но и соблюсти условие отрицательности вещественной части всех корней характеристического полинома для достижения устойчивой работы всей машины.

Однако заслуги Максвелла в области регулирования не ограничились только рассмотренной работой. Он понимал, что более сложный регулятор требует для своего описания дифференциального уравнения более высокого порядка, для которого не известен общий алгоритм нахождения корней характеристического полинома. Поэтому он обратился к членам Лондонского королевского общества с предложением подыскать какой-то метод, который бы не требовал прямого нахождения всех корней характеристического полинома, но давал бы суждение только о знаке их вещественной части.

На эту просьбу откликнулся однокашник Максвелла по Кембриджскому университету, ставший профессором этого же университета, Эдвард Раус (Edward Routh) [5]. Он с готовностью согласился помочь своему товарищу и в 1873 г. опубликовал знаменитый алгебраический критерий, носящий его имя и позволяющий судить об отрицательности вещественных частей корней характеристического полинома, а следовательно, и об устойчивости регулятора, по соотношению постоянных коэффициентов левой части дифференциального уравнения регулятора.

Таким образом, вполне заслуженно Максвелл считается не только вторым в ряду величайших физиков современности: Ньютон — Максвелл — Эйнштейн [5], но и родоначальником линейной теории автоматического регулирования.

К сожалению, его работа о регуляторах очень долго не была признана. Дело в том, что в ней рекомендовалось применение регуляторов непрямого действия, обладающих астатизмом, т. е. теоретически большей точностью по сравнению
с регуляторами прямого действия. Однако инженеры, проектирующие и использующие паровые машины, на собственном опыте многократно убеждались, что регуляторы непрямого действия гораздо больше склонны к потере устойчивости, требуют тщательной настройки и регулировки. Это не только вызывало сомнение в справедливости рекомендаций этого маститого ученого, но и бросало тень на всю работу. За устранение этого противоречия взялся русский ученый Вышнеградский.

Иван Алексеевич Вышнеградский

Иван Алексеевич Вышнеградский (1831–1895)

Рис. 2. Иван Алексеевич Вышнеградский (1831–1895)

Один из создателей теории и практики автоматического регулирования, выдающийся ученый и педагог профессор Иван Алексеевич Вышнеградский (рис. 2) прошел огромный путь от скромного учителя до всемогущего министра финансов царской России [2].

Под руководством профессора Михаила Васильевича Остроградского он защитил магистерскую диссертацию в Петербургском университете и затем преподавал в Михайловской артиллерийской академии и Петербургском технологическом институте. Уже в должности профессора, а затем и директора Технологического института он ставит первые курсы по проектированию разнообразных машин, в том числе паровых машин и регуляторов. Но к началу 80-х годов увлекся железнодорожным строительством, нажил миллионное состояние, занялся финансами и в 1887 г. стал министром финансов, полностью отойдя от научно-педагогической работы.

Лично занимаясь созданием паровых машин и готовя будущих инженеров к практике их проектирования, Иван Алексеевич, конечно, не мог обойти проблему устойчивости регулятора. Весь свой огромный опыт и результаты исследований он изложил в фундаментальной работе «О регуляторах прямого действия», опубликованной в 1876 г. [2].

Прежде всего, Вышнеградский задался целью разработать практическую методику выбора коэффициентов дифференциального уравнения регулятора, а следовательно, и его основных параметров. При этом, рассматривая центробежный регулятор с катарактом [7], он следовал предложенным Максвеллом путем составления линеаризованных уравнений в предположении малых колебаний относительно положения равновесия.

Однако подход Вышнеградского имел и ряд существенных отличий:

  • Исследовался более важный для практики случай паровой машины без самовыравнивания, механическая характеристика которой параллельна оси скорости. Без регулятора такая машина принципиально не работоспособна.
  • В качестве регулятора рассматривалась наиболее популярная классическая конструкция регулятора Уатта, описанного в [7].
  • Трение в сочленениях регулятора принято сухим (кулоновским) [1]. Однако далее, при выводе окончательного дифференциального уравнения, Вышнеградский сознательно этим трением пренебрег, считая его вредным для обеспечения качества регулирования и посему подлежащим всемерному уменьшению конструктивными приемами.

В результате ему удалось получить линейное дифференциальное уравнение регулятора третьей степени, совпадающее по форме с уравнением Максвелла с тремя постоянными коэффициентами (параметрами) в левой части. Однако далее заменой переменных Вышнеградский свел это уравнение к виду:

CE_1(55)_2015.indd

содержащему всего два независимых коэффициента A и B, определяемых только конструктивными параметрами.

Диаграмма Вышнеградского

Рис. 3. Диаграмма Вышнеградского

Такой вид уравнения позволяет найти корни характеристического полинома по формуле Кардано и свести условие отрицательности вещественной части их корней к единственному неравенству: AB > 1, определяющему границу устойчивости регулятора, показанную на рис. 3.

Не остановившись на этом, Иван Алексеевич обследовал область устойчивости выше ее границы и выделил в ней три зоны I, II и III, показанные на рис. 3 в виде соответствующего распределения корней:

  • зона III с апериодическим переходным процессом регулятора;
  • зоны I и II с колебательными затухающими переходными процессами разного вида.

Таким образом, он не только графически отобразил условие устойчивости, но фактически ввел понятие качества регулирования, дав возможность проектировщику заранее выбрать наиболее подходящий вид переходного процесса по такой диаграмме, которая называется теперь диаграммой Вышнеградского.

Другой заслугой Ивана Алексеевича был анализ рекомендации Максвелла по применению астатических регуляторов. Ознакомившись с практикой применения всех известных к тому времени типов регуляторов, он пришел к однозначному выводу о том, что статические регуляторы прямого действия гораздо более надежны в работе, не требуют сложной регулировки и постоянной подстройки, отчего и более популярны. В итоге он сформулировал две знаменитые заповеди:

  1. Без катаракта нет регулятора.
  2. Без неравномерности нет регулятора (т. е. регулятор должен быть статическим).

С первой заповедью производители паровых машин охотно согласились, поскольку это соответствовало их собственному опыту. По поводу второй заповеди посыпались протесты, резонно указывающие, что в реальности успешно работают регуляторы и без катаракта. Окончательно ясность в этом вопросе была внесена работами Ауреля Стодолы.

Аурель Стодола (Aurel Boleslav Stodola)

Аурель Стодола (1859–1942)

Рис. 4. Аурель Стодола (1859–1942)

Великий инженер-механик Аурель Стодола (рис. 4) родился в Словакии, входившей тогда в состав Австро-Венгерской империи, в семье владельца небольшой фабрики ремней. Учился в Будапеште, затем в Цюрихском политехническом институте. Длительное время работал в промышленности, проектируя крупные вентиляторы, паровые машины и первые газовые турбины, где впервые столкнулся с проблемой устойчивости регуляторов. Позднее создал один из первых механически управляемых протезов руки. В 1892 г. приглашен в свою альма-матер профессором, а затем и заведующим кафедрой машиностроения, которую возглавлял 37 лет [2].

Управление заслонками крупных турбин требовало огромных перестановочных усилий, поэтому применение сервомоторов, а следовательно, и регуляторов непрямого действия было неизбежным [7]. Проведя большие теоретические и экспериментальные исследования, изложенные в работах 1893–94 гг. [2], Стодола неопровержимо показал, что могут успешно применяться любые регуляторы (прямого, непрямого действия, статические или астатические), лишь бы выполнялись условия устойчивости Максвелла. Кроме того, он обнаружил, что роль катаракта в обеспечении устойчивости регулятора во многих случаях выполняет просто механическое трение в сочленениях регулятора (в том числе и сухое). Таким образом, принципиальная верность второй заповеди Вышнеградского была подтверждена.

В своем комментарии [2] А. А. Андронов и И. Н. Вознесенский написали: «И если мы, следуя Стодоле, сформулируем тезис Вышнеградского так: «без трения нет регулятора», то мы должны признать, что этот тезис лежит в основе современной теории регулирования».

Кроме того, получив уравнение регулятора седьмой степени и столкнувшись с проблемой поиска корней алгебраического уравнения порядка выше третьего, Стодола обратился к своему однокашнику и коллеге по Цюрихскому политехникуму гениальному математику Адольфу Гурвицу (Adolf Hurwitz), учениками которого были Давид Гильберт (David Hilbert) и Альберт Эйнштейн (Albert Einstein).

И уже в 1895 г. Гурвиц опубликовал свой знаменитый алгебраический критерий устойчивости системы любого порядка, который предполагал следующую процедуру:

  • По определенному правилу из коэффициентов характеристического полинома системы составляется прямоугольная матрица того же порядка.
  • Ищутся все диагональные миноры этой матрицы.
  • Необходимым и достаточным условием отрицательности вещественных частей всех корней, а следовательно, и устойчивости системы является положительность всех этих миноров.

Таким образом, данный критерий не требует поиска самих корней характеристического полинома. Из уважения к Гурвицу полином, отвечающий условиям устойчивости, стали называть гурвицевым, а сам критерий — критерием Гурвица. Нетрудно показать, что из этого критерия сразу следует и граница устойчивости диаграммы Вышнеградского. Интересно отметить, что Стодола применил критерий Гурвица (со ссылкой на последнего) еще до его опубликования в своей статье 1894 г. [2].
После публикации результатов выяснилось, что аналогичный алгебраический критерий, как отмечалось выше, уже предлагался Раусом за 20 лет до этого. Поскольку оба критерия отличаются только процедурами анализа коэффициентов характеристического полинома, то в настоящее время используется общее наименование в виде критерия Рауса — Гурвица.
Следует обратить внимание на то, что как Раус, так и Гурвиц были привлечены к решению проблемы устойчивости своими однокашниками по альма-матер Максвеллом и Стодолой. Это подтверждает очень важную роль обучения в университете для приобретения личных связей, имеющих огромное значение для успешной карьеры каждого ученого.

В течение следующих 40 лет критерий Рауса — Гурвица был единственным инструментом проверки устойчивости регуляторов, пока не был заменен более совершенным критерием Найквиста.

***
Таким образом, к концу XIX в., в значительной степени благодаря работам Максвелла, Вышнеградского и Стодолы, сложился фундамент теории автоматического регулирования линейных систем, включающий:

  • осознание проблемы устойчивости регуляторов;
  • пути решения этой проблемы с помощью анализа линейных дифференциальных уравнений системы регулирования;
  • формулирование алгебраических критериев устойчивости.

Вместе с тем инженеры убедились в том, что реальные регуляторы имеют ряд существенных нелинейностей. Иногда это приводило к неустойчивости регулятора даже в случае выполнения критерия Рауса — Гурвица, что потребовало обратить большее внимание на особенности нелинейных систем автоматического регулирования, которые и будут рассмотрены в следующей статье

Литература
  1. Микеров А. Г. Проблема устойчивости первых регуляторов. Control Engineering Россия. 2014. № 5 (53).
  2. Максвелл Д. К., Вышнеградский И. А., Стодола А. Теория автоматического регулирования (линеаризованные задачи) / Под ред. А. А. Андронова и И. Н. Вознесенского. М.: Изд-во АН СССР. 1949.
  3. Åström K. J. Governors and Stability Theory. Department of Automatic Control LTH. Lund University.
  4. Спасский Б. И. История физики. М.: Высшая школа.1977.
  5. MacDonald D. K. C. Faraday, Maxwell and Kelvin. New York: Anchor Books.1964.
  6. Maxwell J. C. On Governors. The Proceedings of the Royal Society. 1868. № 100.
  7. Микеров А. Г. Первые регуляторы паровых машин. Control Engineering Россия. 2014. № 4 (52).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *