Упреждающая модель управления технологическим процессом

Контроллер с обратной связью может подвести переменную процесса к заданному значению, только если он может какимлибо образом предсказать свое воздействие. Контроллер с управлением на основе модели делает расчеты воздействия с помощью математической модели процесса. Настроенный ПИД контроллер использует неявную модель процесса, которая определяется пропорциональным, интегральным и дифференциальным параметрами.

Расчет управляющих воздействий в этих случаях различается, но в основе своей они базируются на принципе линейности отклика. Процесс называется линейным, если в ответ на увеличение воздействия в К раз переменная процесса также увеличивается в К раз при этом сумма откликов двух отдельных воздействий равна отклику суммы этих воздействий.

Суперпозиция

Принцип суперпозиции определяет поведение линейного процесса. На рисунках принцип суперпозиции объясняется на четырех примерах воздействия контроллера со временем цикла Δt на один и тот же процесс.

В случае А воздействием был отдельный импульс единичной амплитуды любой размерности (процентов, градусов, паскалей и т.д.) и длительностью Δt. Отклик переменной процесса на это воздействие называется импульсной характеристикой или, точнее, единичной импульсной характеристикой.

Процесс в примере достаточно инерционен, и импульсная характеристика постепенно нарастает и также плавно спадает, когда воздействие импульса проходит. К такому классу относится целый ряд технологических процессов, например, изменение температуры в контейнере, после того, как нагревательный элемент включился и сразу отключился или поток жидкости в трубе после кратковременного открытия клапана.

В случае Б показано, что при увеличении величины импульса возрастает амплитуда отклика при сохранении его формы. Второй импульс в 3 раза больше первого и отклик тоже вырос в три раза.

В примере В на процесс подействовали оба импульса, но в разное время. Полный отклик равен сумме обоих импульсных характеристик, которые складываются в каждой точке по времени. Второй отклик фактически накладывается на первый, поэтому принцип суперпозиции иногда называют принципом наложения.

Пример: пусть Г – непрерывная последовательность импульсов с амплитудами u(0), u(1), u(2), …, которые прикладываются в моменты времени 0, Δt, 2Δt, …, результаты воздействий также складываются. Отклик каждого воздействия прибавляется ко всем предшествующим, а его амплитуда определяется величиной соответствующего воздействия. Полный отклик в любой момент времени равен сумме всех откликов, которые были вызваны к этому моменту.

Математический расчет

Благодаря принципу суперпозиции контроллер может предсказать отклик линейного процесса на любую последовательность воздействий, не только на импульсную.Также становится понятным алгоритм расчета итогового значения переменной процесса, он описан в приложении «Расчет отклика процесса». На рисунке приведены уже знакомые примеры, в которых управляющие воздействия и соответствующие отклики представлены в виде численных значений, а не графиков. Каждый поток данных был оцифрован с шагом Δt, который называется интервалом дискретизации.

В примере Г приведены формулы для расчета значений переменной процесса y(0), y(1), y(2), …, полученные в результате произвольной последовательности воздействий u(0), u(1), u(2), …,

y(0)=u(0)·h(0)
y(1)=u(0)·h(1)+u(1)·h(0)
y(2)=u(0)·h(2)+u(1)·h(1)+u(2)·h(0)

и т.д. Каждая следующая формула длин нее предыдущей, по мере того, как все боль ше и больше воздействий вносит свой вклад. К счастью, есть способ алгоритмизировать это множество операций умножения и сложения. В приложении «Свертка» приведено подробное описание «перемножения» двух длинных массивов чисел

H = h(0), h(1), h(2), …

и

U = u(0), u(1), u(2), …

которые в результате дают новый массив

Y = y(0), y(1), y(2), …

по известному алгоритму, в котором вместо отдельных значений используются данные h(0), h(1), h(2), … и u(0), u(1), u(2), …. Эта операция называется сверткой, но на самом деле это просто зеркальное отражение умножения в столбик. Шаги умножения и сложения не изменились, но переноса порядка в следующий столбец не происходит. Обычно свертка обозначается как Y=H*U, «*»– это оператор свертки.

Свертка – это одна из основ целого математического направления – анализа линейных систем. Это мощное средство, которым пользуются инженеры при исследовании линейных процессов и разработке контроллеров с обратной связью, которые могут предсказать поведение системы.